Symmetrien &
Erhaltungssätze

Noethers Theorem — Symmetrie schafft Erhaltung

Im Jahr 1918 veröffentlichte die Mathematikerin Emmy Noether einen der fundamentalsten Sätze der theoretischen Physik (die Arbeit daran hatte sie 1915 in Göttingen begonnen): Jede kontinuierliche Symmetrie eines physikalischen Systems entspricht genau einer Erhaltungsgröße. Das klingt zunächst abstrakt — ist aber von unmittelbarer Konsequenz für alles, was wir über die Natur wissen. Energieerhaltung, Impulserhaltung, Drehimpulserhaltung — alle diese vertrauten Gesetze sind keine unabhängigen Axiome, sondern Konsequenzen tieferer Symmetrien.

Wenn ein physikalisches System dieselben Gleichungen gehorcht, egal zu welchem Zeitpunkt man es betrachtet — wenn also die Gesetze zeitinvariant sind — dann folgt daraus zwingend die Energieerhaltung. Wenn die Gesetze unabhängig davon sind, wo im Raum man sich befindet (Translationssymmetrie), ergibt sich die Impulserhaltung. Und die Rotationssymmetrie — die Tatsache, dass kein Raumwinkel ausgezeichnet ist — liefert die Erhaltung des Drehimpulses.

Noethers Theorem ist nicht nur eine elegante Idee, sondern ein Arbeitswerkzeug: Immer wenn Physiker eine neue Symmetrie vermuten, können sie sofort ableiten, welche Größe erhalten sein muss. Und wenn eine Erhaltungsgröße beobachtet wird, suchen Theoretiker nach der dahinterliegenden Symmetrie.

* Anders als die übrigen Zeilen ist dies keine exakte, aus Noethers Theorem erzwungene Symmetrie, sondern eine zufällige (akzidentelle) Näherungssymmetrie des Standardmodells — sie wird durch nicht-perturbative elektroschwache Sphaleron-Prozesse bei sehr hohen Energien verletzt.

Kontinuierliche und diskrete Symmetrien

In der Quantenfeldtheorie spielen beide Typen eine Rolle. Die drei diskreten Symmetrien C (Ladungskonjugation: Teilchen ↔ Antiteilchen), P (Parität: Raumspiegelung) und T (Zeitumkehr) sind durch das CPT-Theorem grundlegend miteinander verknüpft: Jede konsistente Quantenfeldtheorie ist unter der kombinierten CPT-Transformation invariant. Das ist kein experimenteller Befund, sondern ein mathematischer Satz.

CP-Verletzung — Warum es uns gibt

Einzeln sind C und P verletzt: Die Schwache Kernkraft unterscheidet zwischen Teilchen und Antiteilchen (C-Verletzung) und zwischen links- und rechtshändigen Teilchen (P-Verletzung). 1956 sagten Lee und Yang die Paritätsverletzung vorher; 1957 bestätigte Chien-Shiung Wu sie experimentell durch radioaktiven Kobalt-60-Zerfall.

Noch tiefgreifender ist die CP-Verletzung — die Kombination beider Symmetrien gilt ebenfalls nicht unbedingt. 1964 entdeckten Cronin und Fitch, dass neutrale Kaonen die CP-Symmetrie leicht verletzen. Diese winzige Asymmetrie zwischen Materie und Antimaterie könnte der Schlüssel zur Erklärung sein, warum das Universum überhaupt existiert: Beim Urknall entstanden Materie und Antimaterie in nahezu gleichen Mengen — eine leichte CP-Verletzung ließ einen Überschuss von Materie übrig, der heute die gesamte sichtbare Welt bildet.

In der Praxis ist die bekannte CP-Verletzung im Standardmodell jedoch viel zu schwach, um die Materiedominanz des Universums zu erklären. Es muss weitere, noch nicht entdeckte Quellen der CP-Verletzung geben — das ist eines der dringendsten offenen Probleme der Teilchenphysik.

Lokale Symmetrien — die Mutter aller Kräfte

In der modernen Physik geht man über Noethers Theorem hinaus: Man fordert, dass die Symmetrien nicht nur global (überall gleich), sondern lokal gelten — dass man also an jedem Raumzeitpunkt unabhängig eine Symmetrietransformation durchführen kann. Diese Forderung nach lokaler Eichsymmetrie ist unglaublich streng und zwingt die Theorie dazu, neue Felder einzuführen.

Diese erzwungenen Felder sind genau die Kraftfelder: Das Photon ist das Eichboson der lokalen U(1)-Symmetrie der Elektrodynamik. Die acht Gluonen entstehen aus der lokalen SU(3)-Symmetrie der QCD. Das W⁺, W⁻ und Z-Boson aus der SU(2)×U(1)-Symmetrie der elektroschwachen Theorie. Kräfte sind damit keine Rätsel mehr — sie sind mathematisch notwendige Konsequenzen aus Symmetrieforderungen.

Symmetriebrechung ist dabei ebenso wichtig wie Symmetrie selbst: Wenn das Higgs-Feld einen nichtverschwindenden Vakuumerwartungswert annimmt, bricht es die elektroschwache SU(2)×U(1)-Symmetrie spontan. Die Eichbosonen W und Z werden dadurch massiv. Das Photon bleibt masselos, weil die U(1)-Symmetrie der Elektrodynamik ungebrochen bleibt.